• Referate Anatomie
• Referate Astronomie
• Referate Automatica
• Referate Biologie
• Referate Chimie
• Referate Diverse
• Referate Drept
• Referate Economie
• Referate Engleza
• Referate Filosofie
• Referate Fizica
• Referate Franceza
• Referate Geografie
• Referate Germana
• Referate Informatica
• Referate Istorie
• Referate Marketing
• Matematica
• Referate Medicina
• Referate Muzica
• Referate Psihologie
• Referate Religie
• Referate Romana

Link sponsorizat :

Rangul unei matrice

Se considera o matrice A cu m linii si n coloane cu elemente numere complexe.

Iar k un numar natural, astfel încât 1< k< min (m, n), (prin min (m, n) întelegem cel mai mic dintre numerele m si n)

Daca în A se aleg k linii i1 i2 …, i k si k coloane j1 j2 …, j k, elementele care se gasesc la intersectia acelor linii si coloane formeaza o matrice patratica de ordin k:

al carei determinant se numeste minor de ordin k al matricei A
Se observa ca din matricea A se pot obtine Cmk Cnk minori de ordin k ai matricei.

Se considea A=Om, n o matrice cu m linii si n coloane. Cum matricea A elemente nenule, exista minori nenuli de un anumit ordin k> 1. Dar multimea minorilor matricei A fiind finita este evident ca exista un numar natural r, 1< r< min (m, n), astfel încât sa avem cel putin un minor de ordin r nenul, iar toti minorii de ordin mai mare decât r (daca exista) sa fie nuli.

Definitie: Fie AMm, n(C) o matrice nenula. Spunem ca matricea A are rangul r, si scriem rangA =r, daca A are un minor nenul de ordin r, iar toti minorii lui A de ordin mai mare decât r (daca exista) sunt nuli.

Daca A este matricea nula, atunci matricea are rangul 0, adica rang (Om, n)=0

Teorema 1: Fie A= Om, n o matrice. Numarul natural r este rangul matricei A daca si numai daca exista un minor de ordinul r a lui A, nenul, iar toti minorii de ordinul r+1 (daca exista) sunt nuli.

Demonstratie

"" Daca r este rangul matricei A, atunci toti minorii de ordin mai mare decât r sunt nuli; deci si cei de ordin r+1 sunt nuli.

"< =" Daca tori minorii de un anumit ordin k ai matricei A sunt nuli, atunci sunt nuli si minorii de ordin k+1 ai matricei. Dezvoltând un minor de ordin k+1 dupa elementele unei linii (sau a unei coloane), obtinem o suma de prodduse, în fiecare produs fiind ca factor un minor de ordinul k al matricei. Acestia fiind nuli rezulta ca suma este nula, adica minorul de ordin k+1 este nul.

Teorema 2: Fie AMm, n(C)si BMn, s(C) doua matrice. Atunci orice minor de ordin k, 1< k< min (m, s), al produsului de matrice AB se poate scrie ca o combinatie liniara de minori de ordin k ai matricei A (sau ca o combinatie liniara de minori de ordin k ai matricei B)

Demonstratie
Consecinta: Rangul produsului a doua matrice este mai mic sau egal cu rangul
fiecarei matrice.

Demonstratie: Fie A si B doua matrice astfel încât sa putem efectua produsul AB si se presupune ca toti minorii de ordin K ai lui A (sau ai lui B) sunt nuli. Conform teoremei precedente rezulta ca minorii de ordin k ai matricei AB, care sunt combininatii liniare de ordin k ai matricei A (sau a matricei B) sunt, de asemenea, nuli. Dupa definitia rangului unei matrice:

rang (AB)< rang A
rang(AB)< rang(B)
Obesrvatie: Nu exista o relatie bine determinata între rangurile factorilor si rangul
produsului de matrice
...

Nota: Textul de mai sus reprezinta doar un extras din referat. Pentru versiunea completa a documentului apasa butonul Download.